Как решать линейное уравнение с одной переменной? Системы линейных уравнений: основные понятия Определение линейного уравнения с 1 переменной
Научиться решать уравнения — это одна из главных задач, которые ставит алгебра перед учениками. Начиная с простейшего, когда оно состоит из одной неизвестной, и переходя ко все более сложным. Если не усвоены действия, которые нужно выполнить с уравнениями из первой группы, будет трудно разобраться с другими.
Для продолжения разговора нужно договориться об обозначениях.
Общий вид линейного уравнения с одной неизвестной и принцип его решения
Любое уравнение, которое можно привести к записи такого вида:
а * х = в ,
называется линейным . Это общая формула. Но часто в заданиях линейные уравнения записаны в неявном виде. Тогда требуется выполнить тождественные преобразования, чтобы получить общепринятую запись. К этим действиям относятся:
- раскрытие скобок;
- перемещение всех слагаемых с переменной величиной в левую часть равенства, а остальных — в правую;
- приведение подобных слагаемых.
В случае когда неизвестная величина стоит в знаменателе дроби, нужно определить ее значения, при которых выражение не будет иметь смысла. Другими словами, полагается узнать область определения уравнения.
Принцип, по которому решаются все линейные уравнения, сводится к тому, чтобы разделить значение в правой части равенства на коэффициент перед переменной. То есть «х» будет равен в/а.
Частные случаи линейного уравнения и их решения
Во время рассуждений могут возникать такие моменты, когда линейные уравнения принимают один из особых видов. Каждый из них имеет конкретное решение.
В первой ситуации:
а * х = 0 , причем а ≠ 0.
Решением такого уравнения всегда будет х = 0.
Во втором случае «а» принимает значение равное нулю:
0 * х = 0 .
Ответом такого уравнения будет любое число. То есть у него бесконечное количество корней.
Третья ситуация выглядит так:
0 * х = в , где в ≠ 0.
Это уравнение не имеет смысла. Потому что корней, удовлетворяющих ему, не существует.
Общий вид линейного уравнения с двумя переменными
Из его названия становится ясно, что неизвестных величин в нем уже две. Линейные уравнения с двумя переменными выглядят так:
а * х + в * у = с .
Поскольку в записи встречаются две неизвестные, то ответ будет выглядеть как пара чисел. То есть недостаточно указать только одно значение. Это будет неполный ответ. Пара величин, при которых уравнение превращается в тождество, является решением уравнения. Причем в ответе всегда первой записывают ту переменную, которая идет раньше по алфавиту. Иногда говорят, что эти числа ему удовлетворяют. Причем таких пар может быть бесконечное количество.
Как решить линейное уравнение с двумя неизвестными?
Для этого нужно просто подобрать любую пару чисел, которая окажется верной. Для простоты можно принять одну из неизвестных равной какому-либо простому числу, а потом найти вторую.
При решении часто приходится выполнять действия для упрощения уравнения. Они называются тождественными преобразованиями. Причем для уравнений всегда справедливы такие свойства:
- каждое слагаемое можно перенести в противоположную часть равенства, заменив у него знак на противоположный;
- левую и правую части любого уравнения разрешено делить на одно и то же число, если оно не равно нулю.
Примеры заданий с линейными уравнениями
Первое задание. Решить линейные уравнения: 4х = 20, 8(х — 1) + 2х = 2(4 — 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.
В уравнении, которое идет в этом списке первым, достаточно просто выполнить деление 20 на 4. Результат будет равен 5. Это и есть ответ: х=5.
Третье уравнение требует того, чтобы было выполнено тождественное преобразование. Оно будет заключаться в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. После первого действия уравнение примет вид: 8х — 8 + 2х = 8 — 4х. Потом нужно перенести все неизвестные в левую часть равенства, а остальные — в правую. Уравнение станет выглядеть так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. После приведения подобных слагаемых: 14х = 16. Теперь оно выглядит так же, как и первое, и решение его находится легко. Ответом будет х=8/7. Но в математике полагается выделять целую часть из неправильной дроби. Тогда результат преобразится, и «х» будет равен одной целой и одной седьмой.
В остальных примерах переменные находятся в знаменателе. Это значит, что сначала нужно узнать, при каких значениях уравнения определены. Для этого нужно исключить числа, при которых знаменатели обращаются в ноль. В первом из примеров это «-4», во втором оно «-3». То есть эти значения нужно исключить из ответа. После этого нужно умножить обе части равенства на выражения в знаменателе.
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в первом из этих уравнений получится: 5х + 15 = 4х + 16, а во втором 5х + 15 = 4х + 12. После преобразований решением первого уравнения будет х = -1. Второе оказывается равным «-3», это значит, что последнее решений не имеет.
Второе задание. Решить уравнение: -7х + 2у = 5.
Предположим, что первая неизвестная х = 1, тогда уравнение примет вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенеся в правую часть равенства множитель «-7» и поменяв у него знак на плюс, получится, что 2у = 12. Значит, у=6. Ответ: одно из решений уравнения х = 1, у = 6.
Общий вид неравенства с одной переменной
Все возможные ситуации для неравенств представлены здесь:
- а * х > в;
- а * х < в;
- а * х ≥в;
- а * х ≤в.
В общем, оно выглядит как простейшее линейное уравнение, только знак равенства заменен на неравенство.
Правила тождественных преобразований неравенства
Так же как линейные уравнения, и неравенства можно видоизменять по определенным законам. Они сводятся к следующему:
- к левой и правой частям неравенства можно прибавить любое буквенное или числовое выражение, причем знак неравенства останется прежним;
- также можно и умножить или разделить на одно и то же положительное число, от этого опять знак не изменяется;
- при умножении или делении на одно и то же отрицательное число равенство останется верным при условии смены знака неравенства на противоположный.
Общий вид двойных неравенств
В задачах могут быть представлены такие варианты неравенств:
- в < а * х < с;
- в ≤ а * х < с;
- в < а * х ≤ с;
- в ≤ а * х ≤ с.
Двойными оно называется, потому что ограничено знаками неравенства с двух сторон. Оно решается с помощью тех же правил, что и обычные неравенства. И нахождение ответа сводится к ряду тождественных преобразований. Пока не будет получено простейшее.
Особенности решения двойных неравенств
Первой из них является его изображение на координатной оси. Использовать этот способ для простых неравенств нет необходимости. А вот в сложных случаях он может быть просто необходимым.
Для изображения неравенства нужно отметить на оси все точки, которые получились во время рассуждений. Это и недопустимые значения, которые обозначаются выколотыми точками, и значения из неравенств, получившиеся после преобразований. Здесь тоже важно правильно нарисовать точки. Если неравенство строгое, то есть < или >, то эти значения выколотые. В нестрогих неравенствах точки нужно закрашивать.
Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.
Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами. Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение. Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.
Примеры решения неравенств
1. Решить неравенство 7 - 5х ≥ 37.
После несложных преобразований получается: -5х ≥ 30. Разделив на «-5» можно получить такое выражение: х ≤ -6. Это уже ответ, но его можно записать и по-другому: х ∈ (-∞; -6].
2. Решите двойное неравенство -4 < 2x + 6 ≤ 8.
Сначала нужно везде вычесть 6. Получится: -10 < 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].
И т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения , целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.
Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.
Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными .
Навигация по странице.
Что такое линейное уравнение?
Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.
Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:
Определение.
Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .
Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором - b=3,33 .
А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.
В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:
Определение.
Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.
К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .
Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям . При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.
Как решать линейные уравнения?
Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.
Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет
- единственный корень при a≠0 ,
- не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
- имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.
Поясним, как были получены эти результаты.
Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям , то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:
- перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
- а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .
А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.
Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .
Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .
Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.
Обозначим корень как x 1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x 2 , причем x 2 ≠x 1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x 1 −x 2 ≠0 . Так как x 1 и x 2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств , имеем a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 , откуда a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 и дальше a·(x 1 −x 2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x 1 −x 2 ≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .
Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .
При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.
Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .
Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:
- Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
- Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
- Если же a отлично от нуля, то
- коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
- после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .
Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.
В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.
Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:
- Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
- Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
- Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .
Примеры решения линейных уравнений
Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.
Пример.
Решите линейное уравнение 0·x−0=0 .
Решение.
В этом линейном уравнении a=0 и b=−0 , что то же самое, b=0 . Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.
Ответ:
x – любое число.
Пример.
Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0 ?
Решение.
В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7 , то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.
Линейное уравнение с одной переменной имеет общий вид
ax
+ b
= 0.
Здесь x
- это переменная, a
и b
– коэффициенты. По-другому a
называют «коэффициент при неизвестной», b
– «свободный член».
Коэффициенты это какие-то числа, а решить уравнение - это значит найти значение x
, при котором выражение ax
+ b
= 0 верно. Например, имеем линейное уравнение 3x
– 6 = 0. Решить его – это значит найти, чему должен быть равен x
, чтобы 3x
– 6 было равно 0. Выполняя преобразования, получим:
3x
= 6
x
= 2
Таким образом выражение 3x
– 6 = 0 верно при x
= 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 – это корень данного уравнения
. Когда решают уравнение, то находят его корни.
Коэффициенты a и b могут быть любыми числами, однако бывают такие их значения, когда корень линейного уравнения с одной переменной не один.
Если a = 0, то ax + b = 0 превращается в b = 0. Здесь x «уничтожается». Само же выражение b = 0 может быть истинным только в том случае, если знание b – это 0. То есть уравнение 0*x + 3 = 0 неверно, т. к. 3 = 0 – это ложное утверждение. Однако 0*x + 0 = 0 верное выражение. Отсюда делается вывод, если a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение с одной переменной корней не имеет вообще, но если a = 0 и b = 0, то корней у уравнения бесконечное множество.
Если b = 0, а a ≠ 0, то уравнение примет вид ax = 0. Понятно, что если a ≠ 0, но в результате умножения получается 0, то значит x = 0. То есть корнем этого уравнения является 0.
Если же ни a
, ни b
не равны нулю, то уравнение ax + b
= 0 преобразовывается к виду
x = –b / a
.
Значение x
в данном случае будет зависеть от значений a
и b
. При этом оно будет одним единственным. То есть нельзя при одних и тех же коэффициентах получить два или более разных значений x
. Например,
–8.5x
– 17 = 0
x
= 17 / –8.5
x
= –2
Никакое другое число, кроме –2 нельзя получить, деля 17 на –8.5.
Бывают уравнения, которые с первого взгляда непохожи на общий вид линейного уравнения с одной переменной, однако легко преобразуются к нему. Например,
–4.8 + 1.3x
= 1.5x
+ 12
Если перенести все в левую часть, то в правой останется 0:
–4.8 + 1.3x
– 1.5x
– 12 = 0
Теперь уравнение приведено к стандартному виду и можно его решить:
x
= 16.8 / 0.2
x
= 84
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Линейное уравнение
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Виды систем линейных уравнений
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Простые и сложные методы решения систем уравнений
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Решение систем методом подстановки
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
Решение с помощью алгебраического сложения
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
- Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
- Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
- Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.
Способ решения введением новой переменной
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.
Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.
Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.
Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.
Наглядный метод решения систем
Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.
Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.
Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.
Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.
В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.
Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.
Матрица и ее разновидности
Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.
Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.
Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.
Правила преобразования системы уравнений в матрицу
Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.
Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.
Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.
При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.
Варианты нахождения обратной матрицы
Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.
Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.
Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом
Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.
В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.
Решение систем методом Гаусса
В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.
Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.
После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.
В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:
Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .
Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.
Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.
Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:
Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.
Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.
В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.
Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.
Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.
Линейным уравнением с неизвестными x 1 , х 2 , ..., x n называют уравнение вида
A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;
числа a и a 2 , a 2 , ..., a n называют коэффициентами при неизвестных, число b - свободным членом уравнения.
Линейные уравнения с одним неизвестным умели решать еще в Древнем Вавилоне и в Египте более чем 4 тыс. лет назад. Приведем, например, задачу из папируса Ринда (его называют также папирусом Ахмеса) , хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду 2000–1700 гг. до н. э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы её трети получается число 10». Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения
x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, откуда x = 9.
Приведем также задачу Метродора, о жизни которого ничего не известно, кроме того, что он автор интересных задач, составленных в стихах.
Здесь погребен Диофант, и камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.
Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея.
Пять лет протекли; и прислал Гименей ему сына.
Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?
Решая линейное уравнение
(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,
находим, что x = 84 - столько лет прожил Диофант.
Сам Диофант много внимания уделял неопределенным уравнениям (так называют алгебраические уравнения или системы таких уравнений с двумя и большим числом неизвестных с целыми коэффициентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения; число неизвестных должно быть больше числа уравнений). Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями. Правда, Диофант, живший на рубеже II–III вв., в основном занимался неопределенными уравнениями более высоких степеней.
Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид (1), называют линейной системой. Коэффициенты уравнений, входящих в систему, нумеруют обычно двумя индексами, первый из которых - номер уравнения, а второй (как и в (1)) - номер неизвестного. Например, систему m уравнений с n неизвестными записывают в виде
$\left. \begin{aligned} {{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}+\ldots+{{a}_{1n}}{{x}_{n}}={{b}_{1}}, \\ {{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}+\ldots+{{a}_{2n}}{{x}_{n}}={{b}_{2}}, \\ {{a}_{m1}}{{x}_{1}}+{{a}_{m2}}{{x}_{2}}+\ldots+{{a}_{mn}}{{x}_{n}}={{b}_{m}}. \\ \end{aligned} \right\}(2)$
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\left. \begin{aligned} {{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}={{b}_{1}}, \\ {{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}={{b}_{2}}, \\ \end{aligned} \right\}(3)$
Умножим первое уравнение системы (3) на a 22 и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на a 12 ; аналогично умножим второе уравнение системы (3) на a 11 и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на a 21 . После этого получится система:
$\left. \begin{aligned} (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end{aligned} \right\}(4)$
$\left. \begin{aligned} (a_{11}a_{22}−a_{12}a_{21})x_2 = a_{11}b_2−b_1a_{21}, \\ (a_{11}a_{22}−a_{12}a_{21})x_1 = b_1a_{22}−a_{12}b_2, \\ \end{aligned} \right\}(4)$
которая есть следствие системы (3). Систему (4) можно записать в виде
$\left. \begin{aligned} Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end{aligned} \right\}(5)$
где ∆ - определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы (см. Определитель), ∆ i - определители матриц, получаемых из предыдущей заменой i‑го столбца на столбец из свободных членов, i = 1,2. Далее, если ∆ ≠ 0, то система (5) имеет единственное решение:
x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.
Непосредственной подстановкой проверяется, что эта пара чисел является также и решением системы (3). По такому же правилу ищут решение системы n линейных уравнений с n неизвестными: если определитель системы ∆ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причем
x i = ∆ i /∆
где ∆ i - определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы, заменой в ней i‑го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера. (Г. Крамер - швейцарский математик, 1704–1752).
Если ∆ = 0, то должны обращаться в нуль и ∆ 1 и ∆ 2 (иначе (5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например, если a 12 ≠ 0), то x 1 , можно взять любым, тогда
x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12
Осталось разобрать случай, когда система имеет вид
$\left. \begin{aligned} 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end{aligned} \right\}$
для которого ответ очевиден: если b 1 = b 2 = 0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет.
В общем случае для системы из n уравнений с n неизвестными при ∆ ≠ 0 система имеет единственное решение, которое, как уже говорилось, можно найти по правилу Крамера. Если ∆ = 0 и хотя бы один из определителей ∆ i , отличен от нуля, система несовместна (т. е. не имеет решений). В случае, когда ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, система может либо быть несовместной, либо иметь бесконечно много решений. Установить, какой из этих двух случаев реализуется с помощью определителей, довольно сложно, и мы этим заниматься не будем. На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей применяют метод Гаусса (см. Неизвестных исключение).
Как известно, линейное уравнение a 1 x 1 + a 2 x 2 = b определяет прямую на плоскости (x 1 ; x 2) в случае, когда хотя бы один из коэффициентов a 1 и a 2 отличен от нуля. Если мы возьмем на плоскости две прямые то возможны следующие случаи (см. рисунок): 1) прямые параллельны и не имеют общих точек, и тогда система не имеет решений; 2) прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение; 3) прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться, т. е., как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение. Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т. е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмем уравнение 0 x 1 + 0 x 2 = b, где b ≠ 0, не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых, то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку, но, как правило, имеет место первый случай - у прямых нет общей точки.